Question

Cho m,n \(\in N\)* và p là số nguyên tố thỏa mãn: \(\dfrac{p}{m-1}=\dfrac{m+n}{p}\).Chứng minh rằng : \(p^2=n+2\)

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{p}{m-1}=\dfrac{m+n}{p}\left(1\right)\)

Nếu \(m+n⋮p\)

\(\Rightarrow p⋮m-1\) do \(p\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=p+1\end{matrix}\right.\) Khi đó từ \(\left(1\right)\) ta có: \(p^2=n+2\)

Nếu \(m+n⋮̸\)\(p\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m-1\right)=p^2\)

Do \(p\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=p^2\\m+n=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=p^2+1\\n=-p^2< 0\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy \(p^2=n+2\) (Đpcm)