Cho mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình \(y=x^2\) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=2\left(m-1\right)x+m+1\) ( với m là tham số)
a) chứng minh (d) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hai hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1+3x_2-8=0\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^2-2\left(m-1\right)x-m-1=0\) (1)
\(\Delta'=m^2-m+2=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm pb hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb
b/ Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1+3x_2=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_2=10-2m\\x_1=8-3x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=5-m\\x_1=3m-7\end{matrix}\right.\)
Cũng theo Viet: \(x_1x_2=-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(5-m\right)\left(3m-7\right)=-m-1\)
\(\Leftrightarrow3m^2-23m+34=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\frac{17}{3}\end{matrix}\right.\)
