Question

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh:

a) ΔNBC ~ ΔBCM

b) BM ⊥ CN

Answer 1

$a)$ Theo giả thiết ta có:

$AB//CM \Rightarrow \dfrac{AB}{CM}=\dfrac{EB}{EC}(1)$

$BN//CD \Rightarrow \dfrac{BN}{CD}=\dfrac{EB}{EC}(1)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $\dfrac{AB}{CM}=\dfrac{BN}{CD}(3)$

Mặt khác, $AB=BC=CD$ nên từ $(3)$, suy ra $\dfrac{BC}{CM}=\dfrac{BN}{CB}$

Xét $\Delta NBC$ và $\Delta BCM$ có:

$\widehat{B}=\widehat{C}=90^0$

$\dfrac{BC}{CM}=\dfrac{BN}{CB}$ nên $\Delta NBC ~ \Delta BCM (c-g-c)$

$b)$ Theo câu $a)$ ta có: $\Delta NBC ~ \Delta BCM \Rightarrow \widehat{BCN}=\widehat{BMC}$ (so le trong)

Gọi $O$ là giao điểm của $BM$ và $CN$

Xét $\Delta OCM$ có: $\widehat{M}+\widehat{MCO}=\widehat{BCN}+\widehat{MCO}=90^0$

Suy ra: $BM \bot CN$