Từ F kẻ \(FK\perp FE\)
\(\Rightarrow\widehat{MFE}=\widehat{CFK}\left(Cùng\text{ }phụ\text{ }\widehat{MFK}\right)\)
Ta có: \(MF//AD\Rightarrow\widehat{CMF}=\widehat{MAE}=45^O\)
\(\Rightarrow\widehat{CMF}=\widehat{MCF}\left(Cùng\text{ }=45^o\right)\\ \Rightarrow\Delta MFC\text{ cân tại }F\\ \Rightarrow MF=CF\)
Xét \(\Delta MEF\text{ và }\Delta CKF\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MFE}=\widehat{CFK\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)}\\MF=CF\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\\\widehat{EFM}=\widehat{KFC}=90^O\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MEF=\Delta CKF\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow CK=ME\)
Lại có: \(\widehat{MED}=\widehat{MFD}=\widehat{EDF}=90^O\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác MEDF là hình chữ nhật
\(\Rightarrow ME=DF\\ \Rightarrow DF=CK\\ \text{Mà }CD=CB\left(\text{2 cạnh hình vuông }\right)\\ \Rightarrow CD-DF=CB-CK\\ \Rightarrow CF=BK\\ \Rightarrow MF=BK\left(\text{Cùng }=CF\right)\\ \text{Mà }MF//BK\left(MF//BC;K\in BC\right)\)
=> Tứ giác MFKB là hình bình hành
\(\Rightarrow FK//BM\\ \Rightarrow BM\perp EF\)
Câu b) nè. Quên không làm. :3
b) Gọi N là giao điểm BM và EF \(\Rightarrow\widehat{BNE}=\widehat{BNF}=90^O\)(Chứng minh ý a)
P là giao điểm BE và AF; Q là giao điểm BF và EC
Ta có: \(ME//CD\left(\text{Cùng }\perp AD\right)\Rightarrow\widehat{EMA}=\widehat{DCA}=45^O\)
\(\Rightarrow\widehat{EMA}=\widehat{EAM}\left(Cùng\text{ }=45^o\right)\\ \Rightarrow\Delta AEM\text{ }cân\text{ }tại\text{ }E\\ \Rightarrow EA=EM\\ \text{Mà }EM=DF\left(2\text{ cạnh đối hình chữ nhật }\right)\\ \Rightarrow EA=FD\)
Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta DFA\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD\left(2\text{ cạnh của hình vuông }\right)\\\widehat{EAB}=\widehat{FDE}=90^O\\EA=FD\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AEB=\Delta DFA\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow BE=AF\\ \Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{FAD}\\ \text{Mà }\widehat{EBA}=\widehat{MEB}\left(2\text{ }góc\text{ }so\text{ }le\text{ }trong;ME//AB\right)\\ \Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{FAD}\\ Hay\text{ }\widehat{MEB}=\widehat{FAE}\left(E\in AD\right)\)
Xét \(\Delta EMB\) và \(\Delta AEF\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}EB=AF\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\\\widehat{MEB}=\widehat{EAF}\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\\EM=AE\left(Chứng\text{ }minh\text{ }trên\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta EMB=\Delta AEF\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{EFA}+\widehat{NEB}=\widehat{MBE}+\widehat{NEB}=90^o\\ \Rightarrow180^o-\widehat{EPF}=90^o\\ \Rightarrow\widehat{EPF}=90^o\\ \Rightarrow FP\perp BE\\ Hay\text{ }AF\perp BE\left(P\in AF\right)\)
Chứng minh tương tự \(CE\perp BF\)
\(\Rightarrow EC;FA;BM\text{ }\)là 3 đường cao \(\Delta BEF\)
\(\Rightarrow EC;FA;BM\text{ }\) đồng quy
