Question

cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=m^2+m+1\\_{-x+my=m^2}\end{matrix}\right.\)(m là tham số)

xác định msao cho hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x² +y² đạt giá trị nhỏ nhất

mik dg cần gấp giúp mk nhé

Answer 1

Lời giải:

TH1: $m=0$ thì dễ thấy hpt có nghiệm \((x,y)=(0,1)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=1\)

TH2: $m\neq 0$

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2x+my=m^3+m^2+m\\ -x+my=m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2x+x=m^3+m^2+m-m^2\)

\(\Leftrightarrow x(m^2+1)=m^3+m=m(m^2+1)\)

\(\Rightarrow x=m\)

\(\Rightarrow my=m^2+x=m^2+m\Rightarrow y=m+1\)

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m,m+1)$

\(\Rightarrow x^2+y^2+m^2+(m+1)^2=2m^2+2m+1\)

\(=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}\)

Vậy \((x^2+y^2)_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)

Tổng kết cả TH1; TH2 suy ra $m=\frac{-1}{2}$ thì $x^2+y^2$ đạt min.