Question

Cho hcn ABCD gọi E,F,G,H lần lượt là tdiem của AB,BC,CD,AD. AC cắt BD tại O, cminh: a) HEFG là hình thoi. b) AC,BD,EG,HF đồng quy

Answer 1

Tự vẽ hình.

a) Ta có: E là tđ của AB

F là tđ của BC

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình trog \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow EF//=\dfrac{1}{2}AC\) (1)

Tương tự trog \(\Delta ADC:HG//=\dfrac{1}{2}AC\) (2)

Từ (1) và (2) => EF = HG = \(\dfrac{1}{2}\) AC (3)

C/m tương tự trog \(\Delta ADB\) và \(\Delta CDB:GF=HE=\dfrac{1}{2}BD\) (4)

Vì ABCD là HCN => AC = BD

nên từ (3) và (4) => EF = HG = GF = HE

=> HEFG là hình thoi.

b) Do ABCD là HCN

=> AC và BD cắt nhau tại tđ mỗi đường (*)

Lại do HEFG là hình thoi

=> EG và HF cắt nhau tại tđ mỗi đường (**)

Dễ dàng c/m được AHCF là HBH

=> AC và HF cắt nhau tại tđ mỗi đg (***)

Từ (*); (**) và (***) => AC, BD , EG , HF đồng quy.