Question

Cho hàm số y=x-2+ 1/x (C) tìm k để đường thẳng y=k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

Answer 1

\(y=x-2+\frac{1}{x}\Rightarrow y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\)

Gọi hoành độ 2 điểm là a và b

\(\Rightarrow\left(\frac{a^2-1}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-1}{b^2}\right)=-1\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2-\left(a^2+b^2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2-\left(a+b\right)^2+2ab+1=0\) (1)

Mặt khác, a và b là nghiệm của pt:

\(x-2+\frac{1}{x}=k\Leftrightarrow x^2-\left(k+2\right)x+1=0\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=k+2\\ab=1\end{matrix}\right.\) (2)

Thế (2) vào (1):

\(2-\left(k+2\right)^2+2+1=0\Leftrightarrow\left(k+2\right)^2=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=-2+\sqrt{5}\\k=-2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)