Câu hỏi của Nguyễn Huỳnh Bá Lộc

Question

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên (0;3) và thoả mãn $f\left(\frac{1}{e}\right)=3$, $f'\left(\frac{1}{e}\right)=e,$ $f\left(x\right)>0$, \(\left(f'\left(x\right)\right)^2+f\left(x\...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}$

$\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).f'\left(x\right)\right]'=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}$

Lấy nguyên hàm 2 vế:

$f\left(x\right).f'\left(x\right)=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}+C$

Thay $x=\frac{1}{e}\Rightarrow3e=3e+C\Rightarrow C=0$

$\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}$

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

$\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\int\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}dx=\frac{1}{2}\left(ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx\right)+C$

Thay $x=\frac{1}{e}\Rightarrow\frac{9}{2}=C\Rightarrow C=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow f^2\left(x\right)=ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9}$

$\Rightarrow m=f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=1-3=-2$Câu trả lời: $\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}$

$\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).f'\left(x\right)\right]'=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}$

Lấy nguyên hàm 2 vế:

$f\left(x\right).f'\left(x\right)=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}+C$

Thay $x=\frac{1}{e}\Rightarrow3e=3e+C\Rightarrow C=0$

$\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}$

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

$\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\int\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}dx=\frac{1}{2}\left(ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx\right)+C$

Thay $x=\frac{1}{e}\Rightarrow\frac{9}{2}=C\Rightarrow C=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow f^2\left(x\right)=ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9}$

$\Rightarrow m=f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=1-3=-2$

Nguyễn Huỳnh Bá Lộc · Answer

Chỗ lấy nguyên hàm của $\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx$  bạn giải rõ giúp mình được khôngCâu trả lời: Chỗ lấy nguyên hàm của $\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx$  bạn giải rõ giúp mình được không

Nguyễn Việt Lâm · Answer

Không có cách nào nhanh được cả, chỉ có kiên nhẫn nguyên hàm từng phần thôi bạn

Sẽ tách ra và nguyên hàm từng phần lần lượt từ mũ to đến mũ nhỏ:

$I=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\int\frac{-2ln^3x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=-2ln^3x\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{-6ln^2x}{x}dx\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\frac{2ln^3x}{x}-\int\frac{6ln^2x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx$

Tiếp tục tính cho bậc 2 cụm $-\frac{6ln^2x}{x^2}+\frac{3ln^2x}{x^2}=-\frac{3ln^2x}{x^2}$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=-3ln^2x\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{6lnx}{x}dx\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\frac{3ln^2x}{x}-\int\frac{6lnx}{x^2}$

Lại gom và tính tiếp phần $\frac{lnx}{x^2}$ ...

Sau 4 lần tính như vậy sẽ ra kết quả thôiCâu trả lời: Không có cách nào nhanh được cả, chỉ có kiên nhẫn nguyên hàm từng phần thôi bạn