Question

Cho em hỏi làm sao để chứng minh

\(\forall x\in N,2^X\ge x+2\)

Em cảm ơn!!!

Answer 1

Lời giải:

Sửa đề: CMR $\forall x\in \mathbb{N}, x>1$ thì $2^x\geq x+2$ (vì bạn thấy $x=0, x=1$ thì BĐT trên không được thỏa mãn.

Ta chứng minh bằng quy nạp:

Cho $x=2$: $2^x=2^2=2+2=x+2$

$x=3$: $2^x=2^3> 3+2=x+2$

......

Giả sử BĐT $2^x\geq x+2$ trên đúng đến $x=k$ $(k\in\mathbb{N}>1$) tức là $2^k\geq k+2$. Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $x=k+1$

Thật vậy:

\(2^{k+1}=2^k.2\geq (k+2).2=k+2+k+2>1+k+2=(k+1)+2\)

Phép quy nạp hoàn tất. Vậy $2^x\geq x+2$ với mọi $x\in\mathbb{N}>1$