Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C bất kì thuộc đường tròn (C khác A và B)Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
1) Chứng minh bốn điểm A, E, C, O thuộc cùng một đường tròn.
2) Chứng minh 2 BC BD R . 4 R^2và OE song song với BD.
3) Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với BC tại N cắt tia EC tại F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
4) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn (O;R) và thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua điểm cố định.
1: Xét tứ giác AECO có
góc EAO+góc ECO=180 độ
nen AECO là tứ giác nội tiếp
2:
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔBAD vuông tại A có AC là đường cao
nên BC*BD=BA^2=4*R^2
Xét (O) có
EA,EC là các tiếp tuyến
nên EA=EC
mà OA=OC
nên OE là đường trung trực của AC
=>OE//BC
3: ΔOBC cân tại O
mà OF là đường cao
nên OF là tia phân giác của góc COB
Xét ΔOBF và ΔOCF có
OB=OC
góc BOF=góc COF
OF chung
Do đó; ΔOBF=ΔOCF
=>góc OBF=90 độ
=>BF là tiếptuyến của (O)
