Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là 1 điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. lấy điểm E đối xừng với A qua M.
a) Tứ giác ACDE là hình gì? Vì sao?
b) Giả sử R=6,5cm, MA=4cm. Tính CD
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. chứng minh: MH.MK=\(\dfrac{MC^3}{2R}\)
a) Ta có: đường kính AB vuông góc với dây CD tại M (gt) (1)
\(\Rightarrow MC=MD\left(2\right)\)
Mà MA = ME (E đối xứng với A qua M) (3)
Từ (2), (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình bình hành (4)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của CD
\(\Rightarrow\) Điểm E nằm trên đường trung trực AB cách đều 2 đầu mút C và D \(\Rightarrow EC=ED\) (5)
Từ (4), (5) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình thoi
b) Ta có: AB = 2R = 2 . 6,5 = 13 (cm)
\(\Rightarrow MB=AB-MA=13-4=9\left(cm\right)\)
Theo hệ thức lượng ta có:
MC2 = MA . MB = 4 . 9 = 36
\(\Leftrightarrow MC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)
Từ (2) \(\Rightarrow MC=MD=\dfrac{CD}{2}\)
\(\Leftrightarrow CD=2MC=2.6=12\left(cm\right)\)
c) Áp dụng hệ thức lượng đối với :
- \(\Delta AMC\) ta có:
MH . AC = MA . MC
\(\Leftrightarrow MH=\dfrac{MA.MC}{AC}\)
- \(\Delta BMC\) ta có:
MK . BC = MB . MC
\(\Leftrightarrow MK=\dfrac{MB.MC}{BC}\)
\(\Rightarrow MH.MK=\dfrac{MA.MC.MB.MC}{AC.BC}\)
= \(\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}\left(6\right)\)
Vì \(\Delta ACB\) có cạnh AB là đường kính của đường tròn tâm O nên \(\Delta ACB\) vuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng đối với \(\Delta ACB\) ta có:
MC2 = MA . MB (7)
Và AC. BC = MC . AB (8)
Từ (6), (7), (8) \(\Rightarrow\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}=\dfrac{MC^2.MC^2}{MC.AB}=\dfrac{MC^4}{MC.AB}=\dfrac{MC^3}{AB}=\dfrac{MC^3}{2R}\)
Vậy MH . MK = \(\dfrac{MC^3}{2R}\)
