Cho đường tròn O và dây BC cố định không qua tâm , điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N
a, Chứng minh 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn và MN//FE
b,vẽ đường cao AD của tam giác ABC . Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c, Đường thẳng qua A và vuông góc EF luôn đi qua một điểm cố định
a) \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) (vì BE,CF là các đường cao)
\(\Rightarrow B,C,E,F\) cùng thuộc một đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{BCF}\)(cùng chắn cung BF)
Lại có: \(\widehat{BCF}=\widehat{BMN}\)(cùng chắn cung BN)
Do đó: \(\widehat{BEF}=\widehat{BMN}\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow MN\)//\(FE\)
b)Ta có: \(\widehat{BEF}=\widehat{BCF}\left(cmt\right)\)(1)
Lại có: C,E,H,D cùng thuộc 1 đường tròn (vì \(\widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90^o\))
\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{BCF}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BEF}=\widehat{DEH}\Rightarrow\)EH là p/g của \(\widehat{DEF}\)
Tương tự với FH, DH suy ra đpcm
c)Dễ thấy: \(\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)
\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{AN}\)
\(\Rightarrow\stackrel\frown{MA}=\stackrel\frown{AN}\)
\(\Rightarrow\)A là điểm chính giữa cung MN
\(\Rightarrow OA\perp MN\)
Mà MN//FE
\(\Rightarrow AO\perp EF\)
hay đpcm
