Lời giải:
Nếu $m=0$ thì (d): $y=2$ là đường thẳng song song với $Ox$ và đi qua tung độ $y=2$. Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $2$
Nếu $m=2$ thì (d): $y=2x$ đi qua gốc tọa độ nên khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $0$
Nếu $m\neq 0,m\neq 2$
Gọi $A,B$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox,Oy$
Ta có:
\(0=y_A=mx_A-m+2\Rightarrow x_A=\frac{m-2}{m}\). \(\Rightarrow OA=|x_A|=|\frac{m-2}{m}|\)
\(y_B=mx_B-m+2=m.0-m+2=2-m\)
\(\Rightarrow OB=|y_B|=|2-m|\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, khoảng cách từ $O$ đến (d) là $d$ thỏa mãn:
\(\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{m^2}{(m-2)^2}+\frac{1}{(m-2)^2}=\frac{m^2+1}{(m-2)^2}\)
\(\Rightarrow d^2=\frac{(m-2)^2}{m^2+1}\) \(=\frac{m^2-4m+4}{m^2+1}=\frac{5(m^2+1)-4m^2-4m-1}{m^2+1}\)
\(=5-\frac{(2m+1)^2}{m^2+1}\leq 5\)
\(\Rightarrow d\leq \sqrt{5}\) hay $d_{\max}=\sqrt{5}$
Từ các TH trên suy ra khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ lớn nhất bằng $\sqrt{5}$ khi $m=-\frac{1}{2}$
