Cho đoạn thẳng AB và C nằm giữa AB ( CA \(\ne\) CB ) . Trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ Ax , By | AB . Trên Ax lấy M và M, .Trên By lấy N và N, sao cho AM = BC , BN = AC , AM = AC , BN, = Bc
a ) Chứng minh : MC = NC ; AN = BM, ; AN,= BM
b ) Chứng minh : AN // BM, và AN, // BM
c ) Chứng minh : MN, và M,N và AB đồng quy tại trung điểm của AB
AM _I_ AB
N'B _I_ AB
=> AM // N'B
+) Xét tam giác MAC và tam giác CBN có:
MA = CB (gt)
MAC = CBN (= 900)
AC = BN (gt)
=> Tam giác MAC = Tam giác CBN (c.g.c)
=> MC = NC (2 cạnh tương ứng)
+) Xét tam giác M'AB và tam giác NBA có:
M'A = NB (= AC)
M'AB = NBA (= 900)
AB chung
=> Tam giác M'AB = Tam giác NBA (c.g.c)
=> M'B = NA (2 cạnh tương ứng)
+) Xét tam giác MAB và tam giác N'BA có:
MA = N'B (= BC)
MAB = N'BA (= 900)
AB chung
=> Tam giác MAB = Tam giác N'BA (c.g.c)
=> MB = N'A (2 cạnh tương ứng)
+) M'BA = NAB (Tam giác M'AB = Tam giác NBA)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> M'B // NA
+) MBA = N'AB (Tam giác MAB = Tam giác N'BA)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> MB // N'A
+) Gọi I là giao điểm của MN' và AB
Xét tam giác AMI và tam giác BN'I có:
IAM = IBN' (= 900)
AM = BN' (= BC)
AMI = BN'I (2 góc so le trong, AM // BN')
=> Tam giác AMI và Tam giác BN'I (c.g.c)
=> AI = BI (2 cạnh tương ứng)
=> I là trung điểm của AB (1)
+) Gọi K là giao điểm của M'N và AB
Xét tam giác AKM' và tam giác BKN có:
KAM' = KBN (= 900)
AM' = BN (= BC)
AM'K = BNK (2 góc so le trong, AM' // BN)
=> Tam giác AKM' = Tam giác BKN (c.g.c)
=> AK = BK (2 cạnh tương ứng)
=> K là trung điểm của AB (2)
+) Từ (1) và (2)
=> \(I\equiv K\)
=> MN', M'N và AB đồng quy tại trung điểm của AB
