Xét \(\Delta ABM\) có: \(AM>AB-BM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
Xét \(\Delta ACM\) có: \(AM>AC-CM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
\(\Rightarrow2AM>\left(AB-BM\right)+\left(AC-CM\right)\)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)
Mà \(BM+CM=BC\) (Vì M nằm giữa B và C)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)
\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}^{\left(1\right)}\)
Xét \(\Delta ABM\) có: \(AM< AB+BM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
Xét \(\Delta ACM\) có: \(AM< AC+CM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
\(\Rightarrow2AM< \left(AB+BM\right)+\left(AC+CM\right)\)
\(\Rightarrow2AM< AB+AC+BM+CM\)
Mà \(BM+CM=BC\) (Vì M nằm giữa B và C)
\(\Rightarrow2AM< AB+AC+BC\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC+BC}{2}^{\left(2\right)}\)
Từ \(^{\left(1\right)\left(2\right)}\) \(\Rightarrow\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC+BC}{2}\) (đpcm)
