Kẻ \(AH\perp BC;IK\perp BC\)
- Ta có: \(\frac{S_{ABC}}{S_{BIC}}=\frac{AH.BC}{2}:\frac{IK.BC}{2}=\frac{AH}{IK}\)
Theo định lý Ta lét: \(\frac{AH}{IK}=\frac{AM}{IM}\left(AH//IK\right)\)
Nên \(\frac{S_{ABC}}{S_{BIC}}=\frac{AM}{IM}=\frac{IM+AI}{IM}=1+\frac{AI}{IM}\)
- BI là phân giác của \(\Delta\)ABC nên: \(\frac{AI}{IM}=\frac{AB}{BK}\) (1)
Tương tự : \(\frac{AI}{IM}=\frac{AC}{CM}\) (2)
Từ (1), (2) => \(\frac{AI}{IM}=\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CM}=\frac{AB+AC}{BM+CM}=\frac{AB+AC}{BC}=2\)
Vậy \(\frac{S_{ABC}}{S_{BIC}}=1+2=3\) \(\Rightarrow S_{ABC}=3S_{BIC}\) (đpcm)
c. Gọi AF là trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) AF đi qua trọng tâm G của \(\Delta ABC\)
Ta có: \(\frac{AI}{IM}=2\) (câu a)
và \(\frac{AG}{GF}=2\) (tính chất trọng tâm)
\(\Rightarrow\frac{AI}{IM}=\frac{AG}{GF}\Rightarrow IG//MF\) (định lý Talét đảo)
Hay IG // BC (đpcm)
