Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ( AB < AC ) nội tiếp (O), đường kính BC . Kẻ dây \(AD\perp BC\).Gọi E là giao điểm của DB & CA . Qua E kẻ đường thẳng vuông góc BC tại H & cắt AB tại F . CMR :

a, \(\Delta EBF\) cân

b, \(\Lambda HAF\) cân

c, HA là tiếp tuyến (O)

Answer 1

a)Ta có:AD v/góc BC =>BC là trung trực của AD(đ/lý đkính và dây cung)

=> tam giác DBA cân tại B=>BDA=DAB(t/c)

Lại có EF//AD(cùng v/góc HC)

=>BEF=BDA=BFE=DAB

=> tam giác BEF cân tại B

b)Ta có: tam giác BEF cân tại B có BH là đường cao

=> BH cũng là trung tuyến

=>HE=HF

Mặt khác:FAE=90^o (kề bù với BAC)

Xét tam giác EAF vuông tại A có AH là trung tuyến

=> HA=HF=HE

=>tam giác HAF cân

c)\(\Delta\) FHB có HFB+HBF=90^o (FHB=90^o)(3)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{HAF=HFA(HAF cân)(4)}\\HBF=ABO\left(đ.đ\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có:OB=OA=R

=>\(\Delta\)OBA cân tại O =>OBA=OAB(2)

Từ (1)(2)=>HBF=BAO(5)

Từ (3)(4)(5)=>HFB+HBF=BAO+HAF=90^o=HAO

=>HA là tiếp tuyến của (O)(đpcm)