Question

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, biết \(\widehat{B}\) = 55^o. D là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB = AE.

a) So sánh hai cạnh AB và AC

b) Chứng minh: \(\Delta ABD=\Delta AED\)

c) Trung tuyến AF của \(\Delta ABC\) cắt BD tại G; trung tuyến AK của \(\Delta AEC\) cắt ED tại H. Chứng minh \(\Delta GDH\) là tam giác cân.

Answer 1

a) \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\widehat{ABC+\widehat{ACB=90^o}}\)

\(55^o+\widehat{ACB=90^o}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB=35^o}\)

Nên \(\widehat{ACB< \widehat{ABC}}\)

\(\Rightarrow AB< AC\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

b) Xét hai tam giác vuông ABD và AED có:

AB = AE (gt)

AD: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ABD=\Delta AED\left(hcgv\right)\)

c) Hai trung tuyến BD và AF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của

\(\Delta ABC\)

Ta có: DG = \(\dfrac{1}{3}BD\)

Hai trung tuyến ED và AK cắt nhau tại H nên H là trọng tâm của

\(\Delta AEC\)

Ta có: DH = \(\dfrac{1}{3}ED\)

Mà BD = ED (\(\Delta ABD=\Delta AED\))

Nên DG = DH

Do đó: \(\Delta GDH\) cân tại D (đpcm).