Dễ dàng quy nạp mọi số hạng của dãy đã cho đều \(\ge3\)
(Do \(u_k\ge3\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{u_k^2+2007u_k+2}{2010}\ge\dfrac{9+3.2007+2}{2010}>3\))
Từ đó: \(u_{n+1}=\dfrac{\left(u_n+2007\right)u_n+2}{2010}\ge\dfrac{2010u_n+2}{2010}=u_n+\dfrac{1}{505}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}\ge u_1+n.\dfrac{1}{505}\)
Mà \(\lim\left(\dfrac{n}{505}+3\right)=\infty\Rightarrow\lim\left(u_{n+1}\right)=\infty\)
\(\Rightarrow\lim\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=0\)
Từ giả thiết suy ra:
\(u_{n+1}-2=\dfrac{\left(u_n-2\right)\left(u_n+2009\right)}{2010}\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_n+2009}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_n-1+2010}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_n-1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2010}{u_n-2}-\dfrac{2010}{u_{n+1}-2}\)
\(\Rightarrow S=2010\left(\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}-\dfrac{1}{u_3-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)\)
\(\Rightarrow S=2010\left(\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)=2010\left(1-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)\)
\(\Rightarrow\lim\left(S\right)=2010\)
Dễ dàng CM được theo qui nạp ta có $u_n > 2$ $\forall n\ge 1$
Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2-3u_n+2}{2010} = \dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{2010}$
Dễ thấy với $u_n > 2$ thì $\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{2010} > 0$ nên $u_{n+1} > u_n$
Suy ra dãy $u_n$ tăng ngặt.
Giả sử dãy bị chặn trên. Theo định lý weierstrass thì dãy đã cho có giới hạn.
Đặt $\lim u_n = a(a>2)$. Giải PT giới hạn ta được $a = 1$ or $a=2$ . Hai trường hợp đều không thỏa suy ra $\lim u_n = +\infty$
Từ HTTH ta suy ra:
$2010u_{n+1} = u_n^2+2007u_n+2$
$\to 2010(u_{n+1}-2) = (u_n-2)(u_n+2009)$
Đến đây bạn làm như thầy Lâm là được
Vậy $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{u_k-1}{u_{k+1}-2} = \dfrac{2010}{u_1-2} = 2010$
