Câu hỏi của Kimian Hajan Ruventaren

Question

Cho dãy số (un) biết u1 = 3; $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}$ với $n\ge1$. Tìm công thức của số hạng tổng quát un

Lê Thị Thục Hiền · Accepted Answer

$u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}\left(1\right)$$u_1=3=\sqrt{9}$$u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10}$$u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11}$...Dự đoán công thức:$u_n=\sqrt{n+8}$,$n\ge1$ (*)Thật vậy +)$n=1,(*)$$\Leftrightarrow u_1=3$ (lđ)+)Giả sử (*) đúng với mọi $n=k,k>1$$(*)\Leftrightarrow u_k=\sqrt{k+8}$+)$n=k+1,$ thay vào (1) có: $u_{k+2}=\sqrt{1+u^2_{k+1}}=\sqrt{1+\left(\sqrt{1+u_k^2}\right)^2}=\sqrt{2+u^2_k}=\sqrt{2+k+8}=\sqrt{10+k}$$\Rightarrow$(*) đúng với n=k+1Vậy CTSHTQ: $u_n=\sqrt{n+8}$, $n\ge1$Câu trả lời: $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}\left(1\right)$$u_1=3=\sqrt{9}$$u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10}$$u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11}$...Dự đoán công thức:$u_n=\sqrt{n+8}$,$n\ge1$ (*)Thật vậy +)$n=1,(*)$$\Leftrightarrow u_1=3$ (lđ)+)Giả sử (*) đúng với mọi $n=k,k>1$$(*)\Leftrightarrow u_k=\sqrt{k+8}$+)$n=k+1,$ thay vào (1) có: $u_{k+2}=\sqrt{1+u^2_{k+1}}=\sqrt{1+\left(\sqrt{1+u_k^2}\right)^2}=\sqrt{2+u^2_k}=\sqrt{2+k+8}=\sqrt{10+k}$$\Rightarrow$(*) đúng với n=k+1Vậy CTSHTQ: $u_n=\sqrt{n+8}$, $n\ge1$

Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)