Question

cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_1=1\) và \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+2}\) với \(n\ge1\).

xác định số hạng tổng quát của dãy số

Answer 1

\(\Leftrightarrow u_{n+1}^2-3u_n^2=2\)

Thay \(n\) bằng \(n-1\) ; \(n-2\) ... ta được:

\(u_n^2-3u_{n-1}^2=2\) \(\Rightarrow3u_n^2-3^2u_{n-1}=2.3\)

\(u_{n-1}^2-3u_{n-2}^2=2\Rightarrow3^2u_{n-1}^2-3^3u_{n-2}=2.3^2\)

.....

\(u^2_2-3u_1^2=2\Rightarrow3^{n-1}u_2^2-3^nu_1=2.3^{n-1}\)

Cộng vế với vế:

\(u_{n+1}^2-3^nu_1=2\left(1+3+3^2+...+3^{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow u_{n+1}^2=3^n+3^n-1=2.3^n-1\)

\(\Rightarrow u_{n+1}=\sqrt{2.3^n-1}\Rightarrow u_n=\sqrt{2.3^{n-1}-1}\)