Question

Cho ΔABC đều. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho CD=CB

a. Chứng minh ΔBAD vuông

b. Vẽ AH; CK thứ tự vuông góc với AC; BD. Chứng minh ΔAHC=ΔAKC

c. Chứng minh AH=\(\frac{1}{2}\)AD và AC là đường trung trực đoạn HK

Answer 1

a, Ta có: BD=CD

Mà AC=BC(∆ ABC đều)

=>ac=cd

=>∆acd cân tại c

Ta có: ∠ACD=∠bac+∠b( tính chất góc ngoài)

=>∠acd = 60°+60°=120°

Ta có: góc CAD = góc D = 180° - góc acd : 2= 30°

TA có góc BAD=góc BAC+ góc CAD= 60°+30°=90°

=> ∆BAD vuông tại A

b, trong ∆ vuông AKC có:

Góc AKC= góc KAC+góc ACK

=> góc ACK= góc cka- góc KAC = 90°-30°=60°

Xét ∆ahc và ∆ Acó

Góc ahc=góc AKC (=90°)

Ac chung

Góc ach= góc ACK (=60°)

=>∆ach=∆ack(c.h-g.n)

c, trong ∆acd có

Ac=CD

=>∆acd cân tại c

=> góc CAD= góc D

Xét ∆akc và ∆kcd có

Góc AKC= góc CKD (=90°)

Kc chung

Góc KAC=góc KDC ( chứng minh trên)

=>∆akc=∆dkc( c.g.v-g.n)

=>ak=kd

Mà KD+ak=Ad

=>ah=1/2ad

Gọi I là giao điểm của ac và hk

Xét ∆ahi và ∆aki có

Ah=ak(∆ahc=∆akc)

Góc hai = góc iak (=30°)

AI chung

=>∆aih=∆aik(c.g.c)

=>gocs aik = góc aih

Mà góc aik + góc aih=180°( kề bù)

=> góc AIK=AIH = 180°÷2=90°(1)

Hc=kc(∆aik=∆aih) (2)

Từ (1) và (2)

=> ac là đường trung trực của HK