Question

Cho ΔABC (AB ≠ AC), phân giác AD. Ở miền ngoài tam giác, vẽ tia Cx sao cho ∠BCx = ∠BAD. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

a) ΔADB ∼ ΔACI; ΔADB ∼ ΔCDI

b) AD² = AB . AC - DB.DC

Answer 1

a) Xét ΔADB và ΔCDI có

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDI}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BAD}=\widehat{ICD}\)(gt)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔCDI(g-g)

Answer 2

b) Trên đoạn AD lấy điểm M sao cho \(\widehat{ABD}=\widehat{AMC}\)

Xét ΔABD và ΔAMC có 

\(\widehat{ABD}=\widehat{AMC}\)(cmt)

\(\widehat{BAD}=\widehat{MAC}\)(gt)

Do đó: ΔABD∼ΔAMC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AD}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot AC=AM\cdot AD\)

Xét ΔABD và ΔCMD có 

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDM}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{ABD}=\widehat{CMD}\)(gt)

Do đó: ΔABD∼ΔCMD(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DM}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(DB\cdot DC=DA\cdot DM\)

Ta có: \(AB\cdot AC-DB\cdot DC\)

\(=AM\cdot AD-AD\cdot DM\)

\(=AD\cdot\left(AM-DM\right)\)

\(=AD^2\)(đpcm)

Answer 3