Lời giải:
a)
\(P(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x+6=x^3(x-1)-2x^2(x-1)+3x(x-1)-6(x-1)\)
\(=(x-1)(x^3-2x^2+3x-6)\)
\(=(x-1)[x^2(x-2)+3(x-2)]=(x-1)(x-2)(x^2+3)\)
Nếu $x\in\mathbb{N}^*$ thì $(x-1)(x-2)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $(x-1)(x-2)\vdots 2$
$\Rightarrow P(x)\vdots 2(1)$
Mặt khác:
Với $x$ chia $3$ dư $1$ thì $x-1\vdots 3$
Với $x$ chia $3$ dư $2$ thì $x-2\vdots 3$
Với $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2+3\vdots 3$
Suy ra $P(x)\vdots 3(2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(2,3)=1$ nên suy ra $P(x)\vdots 6$ (đpcm)
b)
\(P(x)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x^2+3)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-1=0\\ x-2=0\\ x^2+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=1\\ x=2\\ x^2=-3< 0(\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)
Vậy PT có nghiệm $x=1; x=2$
