Question

Cho đa thức f(x)=\(\frac{x^5}{30}-\frac{x^3}{6}+\frac{2x}{15}\)

Chứng minh rằng f(x) nhận giá trị nguyên khác 67 với mọi giá trị nguyên x

Answer 1

\(f\left(x\right)=\frac{x^5-5x^3+4x}{30}=\frac{x\left(x^4-5x^2+4\right)}{30}=\frac{x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{30}\)

\(f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{30}=\frac{a}{30}\)

Với x nguyên, do \(a=\left(x-2\right)\left(x-2\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên \(a⋮120\Rightarrow a⋮30\Rightarrow f\left(x\right)\) nguyên

Cũng do \(a⋮120\Rightarrow a=120k\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{120k}{30}=4k⋮4\)

Mà \(67⋮̸4\Rightarrow f\left(x\right)\ne67\) \(\forall x\) nguyên