Question

Cho đa thức \(f\left(x\right)\) xác định và thỏa mãn : \(x.f\left(x+2\right)=\left(x^2-9\right).f\left(x\right)\). Chứng minh rằng \(f\left(x\right)\)có ít nhất 3 ngiệm

Answer 1

\(x.f\left(x+2\right)=\left(x^2-9\right).f\left(x\right)\)

+ Thay \(x=3\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(3.f\left(3+2\right)=\left(3^2-9\right).f\left(3\right)\)

\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=\left(9-9\right).f\left(3\right)\)

\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=0.f\left(3\right)\)

\(\Rightarrow3.f\left(5\right)=0\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)=0:3\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)=0.\)

Vậy \(x=5\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (1).

+ Thay \(x=-3\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(-3.f\left[\left(-3\right)+2\right]=\left[\left(-3\right)^2-9\right].f\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=\left(9-9\right).f\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=0.f\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow-3.f\left(-1\right)=0\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0:\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0.\)

Vậy \(x=-1\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (2).

+ Thay \(x=0\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(0.f\left(0+2\right)=\left(0^2-9\right).f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow0.f\left(2\right)=\left(0-9\right).f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow0=-9.f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=0:\left(-9\right)\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)=0.\)

Vậy \(x=0\) là nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\) Đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm đó là: \(x=3;x=-3\) và \(x=0\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

Tham khảo :

Xét với x=3x=3 thì : 3.f(5)=(32−9).f(3)3.f(5)=(32−9).f(3)

⇒3.f(5)=0⇒f(5)=0⇒3.f(5)=0⇒f(5)=0 (*)

Xét với x=0⇔0=−9.f(0)⇒f(0)=0x=0⇔0=−9.f(0)⇒f(0)=0

nên x=0x=0 là 1 nghiệm của đa thức f(x)f(x) (1)

Xét với x=−3⇔3.f(−1)=0⇒f(−1)=0x=−3⇔3.f(−1)=0⇒f(−1)=0

nên x=−1x=−1 là 1 nghiệm của đa thức f(x)f(x) (2)

Từ (*)(1)(2) ⇒⇒ f(x)f(x) có ít nhất 3 nghiệm.