Question

Cho các số x,y,z một đôi khác nhau thoả mãn:

\(x^3\left(y-z\right)+z^3\left(x-y\right)=y^3\left(x-z\right)\)

CMR : \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:
\(x^3(y-z)+z^3(x-y)=y^3(x-z)=y^3[(y-z)+(x-y)]\)

\(\Leftrightarrow x^3(y-z)+z^3(x-y)-y^3(y-z)-y^3(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^3-y^3)(y-z)-(y^3-z^3)(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)(y-z)-(y-z)(y^2+yz+z^2)(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x^2+xy-z^2-yz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x-z)(x+y+z)=0\)

Vì $x,y,z$ đôi một khác nhau nên \((x-y)(y-z)(x-z)\neq 0\). Do đó $x+y+z=0$

Khi đó:

\(x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)

\(=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=-z^3+3xyz+z^3=3xyz\)

Ta có đpcm.