Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

Tìm GTNN của biểu thức A=\(x^2+2xy-2y^2+2y+10\)

Answer 1

Nếu bạn đã học phương trình đặc trưng thì khá dễ, chưa học thì chúng ta đành liên hợp:

ĐKXĐ: \(x;y\ge-2\)

\(\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}+x^3-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+\left(x-y\right)\left(\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+\left(x+y\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-y=0\) (ngoặc phía sau luôn dương)

\(\Rightarrow x=y\)

Vậy \(A=x^2+2x^2-2x^2+2x+10=\left(x+1\right)^2+9\ge9\)

\(\Rightarrow A_{min}=9\) khi \(x=y=-1\)