§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lưu Thị Thảo Ly

cho các số thực dương x,y thỏa mãn

\(\dfrac{y}{2x+3}=\dfrac{\sqrt{2x+3}+1}{\sqrt{y}+1}\)

tìm min \(Q=xy-3y-2x-3\)

Đặng Minh Triều
19 tháng 6 2017 lúc 14:13

éo chắc

ĐK: x >-3/2 và y khác y\(\ge\)0

\(\dfrac{y}{2x+3}=\dfrac{\sqrt{2x+3}+1}{\sqrt{y}+1}\)

=>\(\left(\sqrt{y}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{2x+3}\right)^3+\left(\sqrt{2x+3}\right)^2\)

<=>\(\left(\sqrt{y}-\sqrt{2x+3}\right)\left(2x+3+y+\sqrt{y}\sqrt{2x+3}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{2x+3}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{2x+3}\right)=0\)

<=>\(\left(\sqrt{y}-\sqrt{2x+3}\right)\left(2x+3+y+\sqrt{y}\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}+\sqrt{2x+3}\right)=0\)

<=>\(\sqrt{y}=\sqrt{2x+3}\)(\(2x+3+y+\sqrt{y}\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}+\sqrt{2x+3}\ne0\))

<=>y=2x+3

Suy ra: Q=2x2+3x-6x-9-2x-3

=2x2-5x-12

=2(x2-2.x.\(\dfrac{5}{4}\)+\(\dfrac{25}{16}\)-\(\dfrac{121}{16}\))

=2(x-\(\dfrac{5}{4}\))2-\(\dfrac{121}{8}\)\(\ge\dfrac{-121}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=5/4 =>y=11/2

Xấu ***** chắc sai

Đức Huy ABC
20 tháng 6 2017 lúc 14:10

ĐKXĐ:\(x>\dfrac{-3}{2};y\ge0\)

Từ đề bài ta có thêm ĐK: y > 0 (vì nếu y=0 thì VP=0, VT > 0)

Đặt \(\sqrt{2x+3}=a,\sqrt{y}=b\) => \(a>0,b>0\)

Ta có:

\(\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a+1}{b+1}\)

<=> \(b^3+b^2=a^3+a^2\)

<=>\(\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2-b^2\right)=0\)

<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)

<=>a-b=0(dễ thấy \(a^2+ab+b^2+a+b>0\) với a>0, b>0)

<=>a=b

<=>\(\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)

<=>2x + 3 = y

Q = xy - 3y - 2x - 3

= x( 2x + 3 ) - 3( 2x + 3 ) - 2x - 3

= 2x2 + 3x - 6x - 9 - 2x - 3

= 2x2 - 5x - 12

= \(2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{8}\ge-\dfrac{121}{8}\)

Vậy Q min = \(-\dfrac{121}{8}\) khi và chỉ khi x = \(\dfrac{5}{4}\), y = \(2.\dfrac{5}{4}+3=\dfrac{11}{2}\).


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Quốc Việt
Xem chi tiết
L N T 39
Xem chi tiết
Trần Hạ Vi
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Eren
Xem chi tiết
Hàn Nhật Hạ
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo Quang
Xem chi tiết