Bài này cũng dễ mà:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)
Mà \(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:
\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Mà:
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)
\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
Áp dụng BĐT Bunhicopski:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
Nhầm link: Câu hỏi của Le Thi Tan Tam - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath (Dòng Suy ra gần dưới cùng gõ nhầm dấu )
Áp dụng BĐT Cauchy ta được
\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le1\)
Do đó: \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT bunhia copxki ta được
(\(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\))(\(\left(\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)\(\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=9\)
Mặt khác \(\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{x^2.1.1}\le\dfrac{x^2+1+1}{3}=\dfrac{x^2+2}{3}\)
Tương tự \(\sqrt[3]{y^2}\le\dfrac{y^2+2}{3},\sqrt[3]{z^2}\le\dfrac{z^2+2}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+6}{3}=3\)
Do đó \(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\ge3\)=\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
