Question

cho các số thực a,b,c>=0 thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)>=2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)

 

Answer 1

Đề là 

Cho \(a;b;c\ge0\) thỏa mãn a+b+c = 1

Cmr : \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\ge\frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+c}\) ak bạn 

Answer 2

Ta có:a+b+c=1

\(đpcm\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{2}{a+2b+c}+\frac{2}{2a+b+c}+\frac{2}{a+b+2c}\)(*)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\)(1)

Tương tự:\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{a+b+2c}\)(2)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{2a+b+c}\)(3)

Cộng theo từng vế của (1);(2);(3) ta đc:(*)(đpcm)

Dấu ''='' xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)