Question

Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} +\dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 1\)

Chứng minh rằng trong bốn số đã cho luôn tồn tại ít nhất hai số bằng nhau.

Answer 1

Giả sử trong 4 số a;b;c;d không tồn tại 2 số bằng nhau

Không mất tính tổng quát ta giả sử a < b < c < d

=> a² < b² < c² < d² (do a;b;c;d nguyên dương)

=> \(\frac{1}{a^2}>\frac{1}{b^2}>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{a^2}>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)

=> a² < 4

=> a < 2 (1)

Lại có: \(\frac{1}{a^2}\)< 1 (theo đê bai)

=> a² > 1

=> a > 1 (do a nguyên dương) (2)

Từ (1) và (2) => 1 < a < 2, mâu thuẫn với đề là a nguyên dương

Như vậy trong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau (đpcm)