Question

Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện 0 < a < b và phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng \(\dfrac{a+b+c}{b-a}>3\)

Answer 1

Lời giải:

PT \(ax^2+bx+c=0\) vô nghiệm đồng nghĩa với việc

\(\Delta=b^2-4ac<0\)

\(\Leftrightarrow b^2< 4ac\)

Vì \(b^2>0\Rightarrow 4ac>0\), kết hợp với \(a>0\Rightarrow c>0\)

------------------------------------

Khi đó, áp dụng BĐT Cô -si cho 2 số dương ta có:

\(4a+c\geq 2\sqrt{4ac}>2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Leftrightarrow a+b+c> 3(b-a)\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b-a}>3\) (do \(b-a>0\) nên khi chia cả 2 vế cho một số dương thì BĐT không đổi chiều)

Ta có đpcm.