Question

Cho biểu thức: \(P\left(x\right)=x^3+\text{ax}+b\).Biết rằng P(0) và P(1) đều chia hết cho 3. Chứng tỏ rằng P(x) có giá trị là bội của 3 với mọi giá trị nguyên của x

Answer 1

\(P\left(0\right)=b\Rightarrow b⋮3\) \(\Rightarrow b=3n\) với \(n\in Z\)

\(P\left(1\right)=b+a+1⋮3\Rightarrow a+1⋮3\)

\(\Rightarrow a=3k+2\) với \(k\in Z\)

\(\Rightarrow y=x^3+\left(3k+2\right)x+3n=x^3+2x+3\left(kx+n\right)\)

Xét \(A=x^3+2x=x\left(x^2+2\right)\)

- Nếu \(x⋮3\Rightarrow A⋮3\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\)

- Nếu \(x\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow x^2\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow x^2+2⋮3\Rightarrow A⋮3\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\)

- Nếu x chia 3 dư 2 \(\Rightarrow x^2+2⋮3\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\)

Vậy P(x) luôn chia hết cho 3 với x nguyên