Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Hoàng Linh Chi

Cho biểu thức: \(P=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]:\frac{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}\)

Rút gọn P. Cho \(x.y=16\). Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất

Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 6 2019 lúc 4:38

ĐKXĐ:

\(P=\left[\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}+\frac{x+y}{xy}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}\left(x+y\right)+\sqrt{y}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}\right]\)

\(=\left(\frac{2\sqrt{xy}+x+y}{xy}\right):\left[\frac{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}\right]=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy}.\frac{\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

\(xy=16\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}=4\\y=\frac{16}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}}{4}\ge\frac{1}{4}\left(2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{4}{\sqrt{x}}}\right)=1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=y=4\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Tạ Hữu Việt
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Đoàn Đặng Bảo Trâm
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Nhi
Xem chi tiết
Đào Ngọc Quý
Xem chi tiết
nguyễn thị hà my
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Nhi
Xem chi tiết