Sửa đề: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+1\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}\right)\)
a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+1\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}\right)\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}:\left(\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{2\sqrt{x}}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}:\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+1}\cdot\frac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b) Để P>0 thì \(\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>0\)
mà \(x+\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\)
hay x>1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>1
Vậy: Khi x>1 thì P>0
c) Ta có: \(\frac{1}{P}=1:\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\)
Để \(\frac{1}{P}\) nhận giá trị dương thì \(\frac{1}{P}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}>0\)
mà \(x+\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\)
hay x>1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>1
Vậy: Khi x>1 thì \(\frac{1}{P}>0\)
Sửa đề: P=(√xx+1+1):(1√x−1−2√xx√x+√x−x−1)P=(xx+1+1):(1x−1−2xxx+x−x−1)
a) ĐKXĐ: {x≥0x≠1{x≥0x≠1
Ta có: P=(√xx+1+1):(1√x−1−2√xx√x+√x−x−1)P=(xx+1+1):(1x−1−2xxx+x−x−1)
=(√xx+1+x+1x+1):(1√x−1−2√x√x(x+1)−(x+1))=(xx+1+x+1x+1):(1x−1−2xx(x+1)−(x+1))
=x+√x+1x+1:(x+1(x+1)(√x−1)−2√x(x+1)(√x−1))=x+x+1x+1:(x+1(x+1)(x−1)−2x(x+1)(x−1))
=x+√x+1x+1:x−2√x+1(x+1)(√x−1)=x+x+1x+1:x−2x+1(x+1)(x−1)
=x+√x+1x+1⋅(x+1)(√x−1)(√x−1)2=x+x+1x+1⋅(x+1)(x−1)(x−1)2
=x+√x+1√x−1=x+x+1x−1
b) Để P>0 thì x+√x+1√x−1>0x+x+1x−1>0
mà x+√x+1>0∀xx+x+1>0∀x thỏa mãn ĐKXĐ
nên √x−1>0x−1>0
⇔√x>1⇔x>1
hay x>1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>1
Vậy: Khi x>1 thì P>0
c) Ta có: 1P=1:x+√x+1√x−11P=1:x+x+1x−1
=√x−1x+√x+1=x−1x+x+1
Để 1P1P nhận giá trị dương thì 1P>01P>0
⇔√x−1x+√x+1>0⇔x−1x+x+1>0
mà x+√x+1>0∀xx+x+1>0∀x thỏa mãn ĐKXĐ
nên √x−1>0x−1>0
⇔√x>1⇔x>1
hay x>1
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>1
Vậy: Khi x>1 thì 1P>01P>0
