Question

Cho biểu thức: \(A=\dfrac{mn^2+n^2\left(n^2-m\right)+1}{m^2n^4+2n^4+m^2+2}\)

a, Rút gọn biểu thức A.

b, CMR biểu thức A luôn dương.

c, Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

a) \(A=\dfrac{mn^2+n^2\left(n^2-m\right)+1}{m^2n^4+2n^4+m^2+2}\)

\(A=\dfrac{mn^2+n^4-mn^2+1}{n^4\left(m^2+2\right)+m^2+2}=\dfrac{n^4+1}{\left(m^2+2\right)\left(n^4+1\right)}=\dfrac{1}{m^2+2}\)

b) CM \(\dfrac{1}{m^2+2}>0\)

ta có \(\left\{{}\begin{matrix}m^2+2>0\\1>0\end{matrix}\right.\forall m\in R\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{m^2+2}>0\forall m\in R\)

vậy đpcm

c) \(A=\dfrac{1}{m^2+2}=\dfrac{2}{2m^2+4}=\dfrac{m^2+2-m^2}{2m^2+4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{m^2}{2m^2+4}\le\dfrac{1}{2}\forall m\in R\)

dấu '=' xảy ra khi m=0

vậy \(A_{max}=\dfrac{1}{2}\) khi m=0