Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tiến Dũng

Cho a,b,x,y thỏa mãn \(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\) và x2+y2=1. cmr \(\dfrac{x^{2006}}{a^{1003}}+\dfrac{x^{2006}}{a^{1003}}=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

Akai Haruma
29 tháng 11 2017 lúc 21:56

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)(a+b)\geq (x^2+y^2)^2=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\geq \frac{1}{a+b}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\). Do đó \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow \frac{x^{2006}}{a^{1003}}=\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{1}{(a+b)^{1003}}\)

\(\Rightarrow \frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{y^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}\)

Do đó ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Dưa Trong Cúc
Xem chi tiết
My Phạm
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Hoàng Nam
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Trâm Anh
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Quang Duy
Xem chi tiết