Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Ngọc Gia Hân

Cho a,b,c>0 tm : a+b+c=3.CM: a2 +b2 + c2 \(\le\) a3 + b3 + c3

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 4 2019 lúc 14:28

Trước hết với x; y dương ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Thật vậy, \(\) \(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\a^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)

Mặt khác:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le a^3+b^3+c^3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Cộng sản MEME
Xem chi tiết
Vũ Thu Hiền
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng trung
Xem chi tiết
Khánh Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Gia Hân
Xem chi tiết
Luu Pin
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
Nguyễn Huyền Trang
Xem chi tiết
Kii
Xem chi tiết