Question

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1

Tìm max của A=\(6\left(ab+bc+ca\right)+a\left(a-b\right)^2+b\left(b-c\right)^2+c\left(c-a\right)^2\)

Answer 1

SOS cho khỏe hihi :">

Dự đoán khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) thì tìm dc \(A=2\)

Ta c/m \(A=2 \) là MAX.Tức là chứng minh BĐT

\(6(a+b+c)(ab+ac+bc)+\sum_{cyc}(a^2b+a^2c-2abc)\leq2(a+b+c)^3\)

\(\Leftrightarrow 6\sum_{cyc}(a^2b+a^2c+abc)+\sum_{cyc}(a^2b+a^2c-2abc)\leq2\sum_{cyc}(a^3+3a^2b+3a^2c+2abc)\)

\(\Leftrightarrow \sum_{cyc}(2a^3-a^2b-a^2c)\geq0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a^3-a^2b-ab^2+b^3)\geq0\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}(a-b)^2(a+b)\ge0\)

*Để ý dùm tui nhé tối là hay ngáo lắm :)*