Question

Cho a+b+c=0  ,a,b,c  khác 0 CM:\(\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\dfrac{3}{2}\)

Mong được giúp đỡ cảm ơn nhiều 

Answer 1

\(a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2\) \(\Rightarrow b^2+c^2+2bc=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca\) ; \(c^2-a^2-b^2=2ab\)

Mặt khác ta có:

\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)=-3ab\left(-c\right)=3abc\)

Đặt vế trái biểu thức cần chứng minh là P

\(\Rightarrow P=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2ab}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)