Ta có: \(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a+3\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le7a-6\)
tương tự rồi cộng lại: \(VT\le7\left(a+b+c\right)-18\)
Ta chứng minh \(5abc-7\left(a+b+c\right)+18\ge0\)(*) .Giả sử a=max{a,b,c}
Có:\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Rightarrow abc\ge ab+ac-a\)
\(VT\ge5\left(ab+ac-a\right)-7\left(a+b+c\right)+18=\left(b+c\right)\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)\)
*) nếu \(a\in\left[\dfrac{7}{5},2\right]\)\(\Rightarrow VT\ge2\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)=2\left(2-a\right)\ge0\)
*) Nếu \(a\in\left[1,\dfrac{7}{5}\right]\)\(\Rightarrow b+c\le2a\le\dfrac{14}{5}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{14}{5}\left(5a-7\right)+\left(18-12a\right)=2\left(a-\dfrac{4}{5}\right)>0\)
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu = xảy ra khi (a,b,c)=(2;1;1) và các hoán vị
