a) Xét ΔANC và ΔAMB có
\(\widehat{BAC}\) chung
\(\widehat{ANC}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔANC∼ΔAMB(g-g)
⇒\(\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}\)
hay \(\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}\)
Xét ΔAMN và ΔABC có
\(\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAMN∼ΔABC(c-g-c)
b) Xét ΔABC có
BM là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
CN là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
BM\(\cap\)CN={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(định nghĩa trực tâm của tam giác)
Gọi K là giao điểm của AH và BC
⇒AK⊥BC
hay HK⊥BC
Xét ΔBHK và ΔBCM có
\(\widehat{BKH}=\widehat{BMC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{HBK}\) chung
Do đó: ΔBHK∼ΔBCM(g-g)
⇒\(\frac{BH}{BC}=\frac{BK}{BM}\)
hay \(BH\cdot BM=BC\cdot BK\)
Xét ΔBCN và ΔHCK có
\(\widehat{HCK}\) chung
\(\widehat{BNC}=\widehat{HKC}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔBCN∼ΔHCK(g-g)
⇒\(\frac{BC}{HC}=\frac{CN}{CK}\)
hay \(CN\cdot CH=BC\cdot CK\)
Ta có: \(BM\cdot BH+CN\cdot CH\)
\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)
\(=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC\cdot BC=BC^2\)(đpcm)
