Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đào Thị Hoàng Yến

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó . CMR :

\(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{y}\) + \(\dfrac{1}{z}\) > \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\)

Văn Minh Kiệt
22 tháng 4 2018 lúc 20:50

Xét tam giác ABC có AB = c ; AC =a ; BC = a ; AD = x ; BE = y ; CF = z ( AD ; BE ; CF là các đường phân giác.
Kẻ đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại M
=> BAD^ = M^ (đồng vị)
DAC^ = ACM^ (so le trong)
Mà BAD^ = DAC^ ( AD là phân giác)
=> M^ = ACM^
=> tam giác ACM cân tại A
=> AM = AC
Xét tam giác AMC có MC < AC + AM (bất đẳng thức trong tam giác AMC)
=> MC < 2AC
Xét tam giác BMC có: AD // MC
=> tam giác BAD đồng dạng tam giác BMC (hệ quả Ta - lét)
=> AD/MC = AB/MB = AB/ (AB+AM)
=> AD = (MC. AB) / (AB+AC) < ( AB . 2AC)/(AB+AC)
=> 1/AD > (AB+AC)/(AB. 2AC)
=> 1/AD > 1/2AC + 1/2AB
=> 1/AD > 1/2.(1/AC + 1/AB)
=> 1/x > 1/2. ( 1/a + 1/c ) (1)
Chứng minh tương tự: 1/y > 1/2. (1/b + 1/c) (2)
1/z > 1/2.(1/a + 1/b) (3)
Cộng (1) (2) và (3) theo từng vế: ta có:
1/x + 1/y + 1/z > 1/2 .(1/a + 1/c + 1/b + 1/c + 1/a + 1/b )
=>1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c

:)) Chúc bạn học tốt hơn nhé


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
TTN Béo *8a1*
Xem chi tiết
Trần Ích Bách
Xem chi tiết
Quang Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết