Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN : \(P=a^3+b^3+c^3-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}\)

Answer 1

Answer 2

72721694_700197777130773_6614559908572430336_n.jpg (806×608)

Answer 3

Ta có \(a^3+b^3-(a+b)^3/4=3/4(a-b)^2(a+b)\)
và \(-\dfrac{3}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{12}{a+b}=-\dfrac{3(a-b)^2}{ab(a+b)}.\)
Lại có nếu như giả sử \(a+b\le 2\) thì
\(a+b-\dfrac{4}{ab(a+b)}= \dfrac{ab(a+b)^2-4}{ab(a+b)}\le 0.\)
Điều này dẫn đến. Nếu chúng ta giả sử \(a\le b\le c\) thì
\(P\le \dfrac{(a+b)^3}{4}+c^3-\dfrac{12}{a+b}-\dfrac{3}{c}=-\dfrac{21}{4}-\dfrac{3(c-2)^2(c^3+4c^2-6c+3)}{4(3-c)c}.\)
Lại có
\(c^3+4c^2-6c+3=c^3+1+2(2c-1)(c-1)\ge 2.\)
Điều này cho ta được \(P_{max}=-\dfrac{21}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi hoán vị \((a,b,c)\sim\left(1/2,1/2,2\right)\)