Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a+b>c;a+c>b;b+c>a(BĐT tam giác)
Ta có: \(2.\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ac+ab+bc+ac=b\left(a+c\right)+a\left(b+c\right)+c\left(a+b\right)\)Do a+c>b nên \(b\left(a+c\right)>b^2\)
Do b+c>a nên \(a\left(b+c\right)>a^2\)
Do a+b>c nên \(c\left(a+b\right)>c^2\)
Vậy a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>\(a^2+b^2+c^2\)
hay \(2.\left(ab+bc+ca\right)>\)\(a^2+b^2+c^2\)(đpcm)
Cho ba a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Cho a,b ,c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Gọi a,b,c là đọ dài các cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
1.Tìm số tự nhiên n để phân số\(\dfrac {7n-8}{2n-3}\) đạt giá trị lớn nhất
2.Cho đa thức p(x) = \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d \) với a,b,c,d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5
3.Gọi a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. chứng minh rằng:\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} <2\)
1) Tìm số tự nhiên n để phân số \(\dfrac{7n-8}{2n-3}\)có giá trị lớn nhất
2) Cho đa thức p ( x) = a3+bx + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên . Biết rằng p( x ) \(⋮\)5 với mọi x nguyên
Chứng minh rằng : a, b, c , d đều chia hết cho 5
3) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh cảu 1 tam giác . Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
Bài 1:Cho đa thức f (x) = x3 + ax2 − bx +2.
1. Cho a = −1/2và b = 4. Chứng minh rằng x =1/2 là nghiệm của đa thức.
2. Biết đa thức đã cho nhận x = 1 và x = −2 là nghiệm. Tìm giá trị của a và b.
3. Với đa thức tìm được ở câu trên, hãy tìm giá trị của x thỏa mãn f (x) = x+2.
Bài 2:Cho đa thức M = x3 + x2y − 2x2 − x y − y2 + 3y + x + 2020. Tính giá trị của đa thức M biết x+ y−2 = 0.
Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC). Về phía ngoài tam giác ABC vẽ hai tam
giác ABD và ACE vuông cân tại A.
1. Chứng minh BD = CE;
2. Chứng minh BD ∥ CE;
3. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, AH cắt DE tại M. Vẽ đường thẳng qua A và
vuông góc với MC cắt BC tại N. Chứng minh rằng C A ⊥ NM.
4. Chứng minh rằng AM =DE/2
ôn tập chương II
Bài 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, có 0B60 và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC
tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.
1/ Chứng minh: ABD = EBD.
2/ Chứng minh: ABE là tam giác đều.
3/ Tính độ dài cạnh BC.
Bài 2.
Tam giác có độ dài ba cạnh sau có phải là tam giác vuông không? Vì sao?
a) 3cm, 4cm, 5cm;
b) 4cm, 5cm, 6cm.
Bài 3.
Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3; 2; 1.
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Lấy D là trung điểm của AC, kẻ DM AC (M BC). Chứng minh rằng tam giác
ABM là tam giác đều.
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy H thuộc cạnh AC, K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK. Chứng minh rằng: a) ABH = ACK . b) Nối K với H, Chứng minh KH // BC. c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh tam giác BOC cân.
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện a2+b2>5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
