\(P=\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3-\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MIN_P=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 9a + 9b +c
cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
cmr \(\sqrt{\frac{a}{a-1}}+\sqrt{\frac{b}{b-1}}+\sqrt{\frac{c}{c-1}}>2\)
cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm GTNN của biều thức sau : P=\(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\)
Cho a,b,c dương tìm gái trị nhỏ nhất của
S=(1+\(\frac{a}{b}\))^5+(1+\(\frac{b}{c}\))^5 +(1+\(\frac{c}{a}\)) ^5
Cho các só thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}=2\)
CMR : \(ab+bc+ca\le\frac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{9a^2+16}+\sqrt{9b^2+16}+\sqrt{9c^2+16}\le5\left(a+b+c\right)\)
