Lời giải:
a)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{BHA}=90^0-\widehat{B_1}\\ \widehat{BHM}=90^0-\widehat{B_2}\end{matrix}\right.\). Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) do $BH$ là tia phân giác góc $B$ nên \(\widehat{BHA}=\widehat{BHM}\)
Xét tam giác $ABH$ và $MBH$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \widehat{BHA}=\widehat{BHM}\\ \text{BH chung}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \triangle ABH=\triangle MBH(g.c.g)\)
b)
Vì \(\triangle ABH=\triangle MBH\) nên \(BA=BM\) và \(HA=HM\)
Do đó \(BH\) là đường trung trực của $AM$
c)
Xét tam giác $BNM$ và $BCA$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BMN}=\widehat{BAC}=90^0\\ \angle \text{B chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle BNM\sim \triangle BCA(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BA}\). Mà \(BM=BA\Rightarrow BN=BC\)
Do đó: \(\frac{BA}{BN}=\frac{BM}{BC}\). Theo định lý Thales đảo suy ra \(AM\parallel CN\)
d)
Xét tam giác $BNC$ có \(CA\perp BN, NM\perp BC\) và \(CA\cap MN=H\) nên $H$ là trực tâm của tam giác $BNC$
Do đó: \(BH\perp NC\)
