Question

cho a,b,c > 0,a+b+c=3

tìm GTNN của P=\(\frac{a}{1+b^2}\)+\(\frac{b}{1+c^2}\)+\(\frac{c}{1+a^2}\)

Answer 1

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a.\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Mặt khác có : \(1+b^2\ge2b\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại ta có :

\(P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)