Question

cho a,b,c >0

a)  a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a)+ c(c-a)(c-b) \(\ge\)0

b) a⁶+b⁶+c⁶\(\ge\)a⁵b+b⁵c+c⁵a

Answer 1

a. Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

BĐT tương đương:

\(\left(a-b\right)\left[a^2-ac+bc-b^2\right]+c\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)\right]+c\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+c\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (đúng)

b.

Ta có: \(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+b^6\ge6\sqrt[6]{a^{30}b^6}=6a^5b\)

Tương tự: \(5b^6+c^6\ge6b^5c\) ; \(5c^6+a^6\ge6c^5a\)

Cộng vế với vế:

\(6\left(a^6+b^6+c^6\right)\ge6\left(a^5b+b^5c+c^5a\right)\)